パドヴァン数列は，初項から３つ１，１，１を並べて始まります．その後の数列の値は，二つ前と三つ前の数列の値の和です．ですので，いわゆるワン・スキップ型の数列です．ペラン数列等もこの数列の特徴を継承した数列です．今回はこのワンスキップ型の数列の二刀流の可視化を公開します．パドヴァン数列は，オリジナルのパスカルの三角形の値を将棋の桂馬や，チェスのナイトのような桂馬型の和から得られることが周知です．小生も修正パスカルの三角形を用いてペラン数列の可視化に成功し，パドヴァン数列などワン・スキップ型の数列の初項の変化に耐え得る可視化も実現してきました．今回は前作のパドヴァン数列の正六角形の数理的特徴がヒントとなり，パドヴァン数列を修正パスカル三角形上の４UP型の和として表せることも紹介します．以上，数列の二刀流の可視化を楽しんでください．
パドヴァン数列は，ワンスキップ型の数列です．パスカルの三角形に注目し，その斜め和を桂馬型の和として得られる数列です．この数列の特徴は，ペラン数列でも確認できます．これらのすうれつは正三角形の螺旋を描く数列としても有名です．まずは，このことを下記の図を観察してご理解ください．
この修正パスカル三角形を基準に，これら数列の初期値を順番に流れるように変化させながら可視化を行うことに成功しました．下記はそのアニメーションです．桂馬型の和が数列を構成して可視化できていることをご確認ください．これは2023年12月の成果です．
さて，この数列とパスカルの三角形の関係はこれだけに留まりませんでした．題目のとおり，他にも斜めの和がパドヴァン数列を構成することが分かりました．下記の図は京都大学数理解析研究所の講究録に2025年3月に公開しました．パスカルの三角形の行列に１，１，１と3つ並ぶバンド行列を乗じるだけで二刀流の可視化に成功しました．数理的な美しさと図としての美しさをご堪能ください．
この二刀流の可視化で桂馬型で実現した３つの設定値を変化されながら可視化する方法も分かりました．それが下記の図です．3つの数値を変化させたバンド行列を反対から転置行列として乗じるだけで実現しました．これもまた見事な仕組みです．同様にペラン数列や，その他に設定値，例えば，８，２，５を設定してもワンスキップ型の数列の二刀流の可視化ができました．いかがでしょうか．
ワンスキップ型の数列の数列の拡大率はプラスチック比に収束します．他の研究シーズとしても紹介していますが，正六角形螺旋の図に潜む級数の数式が謎を解く鍵でした．そして，パドヴァン数列の３つの１，１，１がもう一つの鍵でした．二つの鍵を用いて扉を開いてみると素晴らしい景色でした．ご支援いただいた皆様，助言をいただいた皆様，励ましを頂いた皆様に心から感謝します．有難うございました．
論文
「修正パスカル三角形によるパドヴァン数列, ペラン数列, ワン・スキップ型数列のための2通りの可視化」(2025)『日本オペレーションズ・リサーチ学会春季研究発表会アブストラクト集』2-G-12p.1-2.
「Modified calculations and visualizations for skipped, weighted, or right-upward typed Gibonacci sequences using related Pascal triangles and these matrices」(2025)『京都と大学数理解析研究所講究録』2304p.114-126.
「修正パスカルの三角形の活用を含む貴貴金属比と関連する数列の数理とその可視化」(2023)『図学会大会学術講演論文集』
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