ニュートンの二項定理では、負のべき乗を級数として表現できます。これがパスカルの三角形に活用できることは意外と知られていません。本研究ではフィボナッチ数列とリュカ数列の表現に、この発想が欠かせないことを可視化するとともに、この両数列に関連する数列を修正パスカル三角形が見事に表現してくれることを紹介します。下記に示す修正された三角形をご覧いただきこの考え方のアルゴリズムって美しいなって感動してもらえたら光栄です。
この螺旋図をよく見ると、ケプラーの三角形が等角螺旋を構成していることが分かります。これまでのイノベーションデイズでも紹介した黄金比とフィボナッチ数列の関係をピタゴラスの定理が説明していきます。これを今回はリュカ数列にも適応できることを示してみました。
同様に、ヤコブスタール数列と直角三角形の関連図もこれまでに紹介してきました。左上の図のケプラー三角形のように、左図は、ヤコブスタール・リュカ数列を説明できることを図に示してみました。
上記で説明した等角螺旋図は、左図のように一般化できます、この一般化がとても大切になります。そして、この発想がパスカルの三角形の修正にとても大事な考え方を与えてくれました。
その前に、貴金属比の傾向に関連する数列も紹介します。右図のように、黄金比にはフィボナッチ数列とリュカ数列が関連します。白銀比にはペル数列とペル・リュカ数列が関連します。これらの数列が、パスカルの三角形を修正すると可視化できます。
ご覧ください。一般化されたフィボナッチ数列とリュカ数列を同時に表示してみました。この図の可視化により、負のパスカルの三角形はニュートンの二項定理が欠かせませないことが明示できています。
同様に、フィボナッチ数列はリュカ数列で左図に示す数式のように説明できます。そこで、視覚化してみました。
ニュートンの二項定理を用いるとこれまで視覚化されなかったパドヴァン数列の負の数列部分と、全く視覚化されなったペラン数列の修正パスカル三角形も視覚化できました。このことはこれだけに留まりません。9月14日に大阪工業大学イノベーションデイズ2023の公開日でした。翌日の9月15日にオペレーションズ・リサーチ学会でこの発展形を研究発表します。近日中に小生の研究HPに公開しますので、ご期待ください。
二つの上図はその前宣伝です。世界初、チェスのナイトもしくは将棋の桂馬の延伸型による（ワン・スキップ型およびツー・スキップ型の）フィボナッチ数列とリュカ数列を示すための修正パスカル三角形の可視化です。イノベーションデイズでは、思い出に残る作品を沢山出品することができました。皆様に感謝いたします！
最後に，昨年度のGIFアニメーションを追加します．有難うございました．
論文
「一般化されたフィボナッチ数列およびリュカ数列の修正パスカルの三角形による幾何学的可視化」(2023)『日本オペレーションズ・リサーチ学会2023年秋季研究発表会アブストラクト集』2-A-5p.1-2.
「細矢の三角形の拡張図ならびに黄金比やプラスチック比を参考とするいくつかの数列の修正版パスカルの三角形と螺旋図による可視化」(2023)『日本オペレーションズ・リサーチ学会2023年秋季研究発表会アブストラクト集』2-A-7p.1-2.
「修正パスカルの三角形の活用を含む貴金属比と関連する数列の数理とその可視化」(2023)『図学会大会学術講演論文集』p.63-68.
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