黄金比，白銀比，青銅比など貴金属比と関連するサブタイトルの数列を活用して，図余りと図足らずを許した場合の正三角形による螺旋図を考察しました．その結果，シングル，ダブル，トリプル型の正三角形螺旋図の特徴が分かりました．また，副産物として正三角形の特徴を有する正六角形の螺旋図も考案しました．どうぞお楽しみください！
パドヴァン数列を用いたシングル型正三角形螺旋図は周知です．一方で，フィボナッチ数列を用いたダブル型正三角形螺旋図は日本では知られていないようです．また，トリプル型正三角形螺旋図は多くのブログでも取り上げられているようです．そこで，貴金属比のような比とその関連数列により，これらをまとめながら，数列の初項や二項などの設定値の変更で図余りや図足らずを認めながら作画が可能かを挑戦しました．
まずは，シングル正三角形螺旋図はパドヴァン数列もしくはプラスチック比により可能です．そこで，分数8/25を活用すると0,.32のため，プラスチック比を近似するのに好都合の為，こちらを思い切って活用して図余りや図足らずの様子を調べることにしました．下記の図がその様子です．
このように図足らずが認められるもののしっかりとシングル型正三角形が描けています．そこで，8/25を8月25日に見立てて，1月から12月までの比率を用いたシングル型正三角形の様子も下記の図のとおり調べてみました．こちらも問題なく描けていました．
続いて，フィボナッチ数列のダブル螺旋図を紹介します．既に西洋では知られているようでした．ですので，リュカ数列やムラツ数列も一緒に考察したオリジナル版を下記の図として公表しています．
このように，ダブル螺旋型でも図余りや図足らずを許すとリュカ数列やムラツ数列を用いたダブル螺旋図が描けました．そこで，黄金比，白銀比，青銅比に代表されるプライマリーの貴金属比によるダブル型正三角形螺旋図も作画に挑戦したところ見事に下記の図のように可視化できました．新たな貴金属比の定義図の完成です．記念して，フィボナッチ数列，リュカ数列，ペル数列，ペル・リュカ数列による螺旋図も加えて作画を公表しています．
続いて，トリプル型の螺旋図を考察します．2のべき乗がトリプル型正三角形螺旋を構成するので，ヤコブスタール数列をフィボナッチ数列のように一つずらして，作画を行います．
このように，初項や二項などの設定値を変更して様々な数列による図余りや図足らずのシングル，ダブル，トリプル型正三角形螺旋図を描けることが分かりました．その一例が下記の図です．いかがでしょうか．
ところで，次のような副産物がございました．すなわち，下記のように正六角形螺旋図です．この図はフィボナッチ数列とリュカ数列の活用例でダブル型正六角形螺旋図です．芸術的観点からも興味深い図が描けました．まるで仲の良いカップルかご夫婦のようですね．そこで，聖書の「二人は一体となる」もしくは隣人を愛すように，「互い愛し合いなさい」をサブタイトルに加えてみました．
正六角形螺旋図も面白いことに，パドヴァン数列，フィボナッチ数列，ペル数列により，数学的には厳密ではございませんが，シングル，ダブル，トリプル型正六角形螺旋図を作画できました．では，正三角形と同様に関連するプラスチック比，フィボナッチ数列，２では正六角形螺旋図ではどのように描けるのでしょうか．
いかがでしょうか．
このように見事に正三角形螺旋図と同様に正六角形螺旋図の作画に成功しました．ご支援いただいた皆様に感謝いたします．また，この研究はこれまでのシーズ集に紹介するようにケプラー三角形と黄金比とフィボナッチ数列，直角二等辺三角形と２とヤコブスタール数列による1番と2番という関係を調べてきました．その関係が数式により，ダブルとトリプルの関係に進展して成就しました．ありがとうございました．
論文
「図余りと図足らずを許した正三角形を連ねた螺旋図 -パドヴァン数列とペラン数列に習って-」(2024)『日本図学会2023年度関西支部学術講演会講演資料』p.1-6.
「図余りと図足らずを許した正三角形を連ねた螺旋図（Gibonacci数列と関連数列）」(2024)『2024年日本フィボナッチ協会研究集会講演資料』p.1-23.
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