等角螺旋の特徴を直角三角形を用いて考察した結果、放物線、直線、点、円、カージオイドなど図として意味がある特徴が描けました。また、ケプラー三角形を2枚用いた直方体をケプラー直方体と呼ぶことにすると、これを応用して空間幾何学上に貴金属比の類似比の活躍が期待できることがわかりました。
昨年の貴金属比の類似比の特徴についての報告から1年が経過しました。その後の大きな進展をいくつかご紹介します。また、空間への貴金属比の類似比の応用で電子情報システム工学科の藤村真生先生が共同研究者としてご協力くださりました。まずは、左の図の貴金属比の類似比の定義をご確認ください。いつかWikipediaに掲載されることを目標に研究を続けています。
上記の図のうち、左の図は貴金属比の類似比の特徴をピタゴラスの定理で示した図です。二次方程式の特徴と図の関係をよくご覧ください。ここに、右の図のように等角螺旋を描くことにより幾何学的な意義や芸術的な可視化が期待できます。
例えば、空間図形では、第1類似比である黄金比を基準に2枚のケプラー三角形を合わせた直方体を考えることができます。このときの直方体の対角線を基準とした直角三角形は直角二等辺三角形になります。この特別な直方体をケプラー直方体を呼ぶことにします。同様に、第2類似比を用いると立方体を考えることができます。したがって、立方体の対角線を用いるとA4用紙を半分に分けたときのように相似する直角三角形が得られます。このような特徴を用いて空間図形上で貴金属比の類似比の特徴を調べてみることにしました。
では、このことを活用して、直方体とその展開図を見ていきましょう。
この直方体を第1類似比から第12類似比まで一つの頂点を重ねて、下図のように構図を考えると貴金属比の類似比は放物線を描くことが分かりました。右側の螺旋図はテオドロスの螺旋を空間上で描くための展開図です。各直方体の対角線が活かされて構図を考えます。
同様に、各貴金属比の類似比を用いて空間図形上に螺旋階段を描くことも可能です。
ところで、平面上での貴金属比の類似比の定義図は下記の2枚を紹介してきました。
左の図は、第1類似比でもある黄金比を用いて拡大解釈しながら連分数を視覚化し、同様に多重根号を芸術的に可視化したものです。天国への階段と命名しました。時節柄、ロシアのウクライナ侵攻で、ウクライナ各地での多くの方の犠牲だけでなく、ロシアの若い兵士の命の双方の不幸にご冥福をお祈りします。
左上の図は、第2類似比の拡大解釈の連分数と多重根号の図を示しています。同様に、右上の図は、第12類似比の同じ傾向を示しています。この傾向を用いると、新たな貴金属比の類似比の幾何学的特徴が確認できました。
左の図は、第ｎ類似比の拡大解釈の連分数と多重根号を式で示したものと等角螺旋の拡大を放物線で図示しています。直角三角形を2枚で成長する、すなわち2乗で放物線を描く特徴があることが分かりました。また、第12類似比まで用いると黄金比の特徴がそこにも見えてきます。
このように、放物線の特徴が分かるだけではなく、直線や点、円のような幾何学的に興味深い結果を得ることができます。
そして、さらに、今回はカージオイドがマイナス2乗、すなわち、逆方向に直角三角形を2枚おいた形状として等角螺旋の縮小の傾向に示すことができました。下図をご覧ください。
ところで、上の図はp=1の場合を示しただけでした。pの値が1,2,3と変化していく場合にはどのように等角螺旋が変化していくのかを確認していきましょう。
左上の図は、黄金比である第1類似比に関して、p=1,2,3の場合のケプラー三角形と等角螺旋を示して、その2次方程式の変化を示しています。また、右上の図のは、第2類似比に関して比較できるように示しています。このことから、右の図のように、一般化されたフィボナッチ数列と類似比のpに関する傾向を確認することができました。
このように、等角螺旋の拡大方向に放物線を、縮小方向にカージオイドの傾向があることを視覚化することに貴金属比の類似比は役立ちました。また、一般化されたフィボナッチ数列や等角螺旋の傾向をピタゴラスの定理だけではなく二項定理の活用も役立ちましたので、パスカルの三角形を応用して、最後に下図のように一般化されたフィボナッチ数列とニュートンによる一般化された二項定理を図示することもできたことを報告します。
論文
「一般化フィボナッチ数列と二項定理を用いた貴金属比の類似比の幾何学的考察 ― ガウス平面を応用した等角螺旋の等角写像デザイン ―」(2021)『日本オペレーションズ・リサーチ学会2021年秋季研究発表会アブストラクト集』p.1-D-2.
「一般化されたフィボナッチ多項式とニュートンによる一般化された二項定理の視覚化および関連する連分数と多重根号や等角螺旋の幾何学的特徴と対称性」(2022)『日本オペレーションズ・リサーチ学会2022年春季研究発表会アブストラクト集』p.2-E-10.
「貴金属比の類似比によるテオドロスの螺旋や等角螺旋の芸術的＆幾何学的再考」(2022)『日本オペレーションズ・リサーチ学会2022年秋季研究発表会アブストラクト集』p.1-E-6.
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