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貴金属比とその関連数列によるシングル，ダブル，トリプル型の正三角形螺旋と正六角形螺旋（2024年度の作品＋α）

黄金比，白銀比，青銅比など貴金属比と関連するサブタイトルの数列を活用して，図余りと図足らずを許した場合の正三角形による螺旋図を考察しました．その結果，シングル，ダブル，トリプル型の正三角形螺旋図の特徴が分かりました．また，副産物として正三角形の特徴を有する正六角形の螺旋図も考案しました．どうぞお楽しみください！

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スキップ型重み付きGibonacci数列を得るための修正パスカル三角形の演算アルゴリズム

パスカルの三角形の構造を修正するだけで様々な数列が作成できるだけではなく，その初項や二項の設定を変えた一般形を示すための演算アルゴリズムを紹介します．そのためにスキップ型にモデリングする数列の発想が大切になります．線形代数を用いてエレガントに演算できる方法が分かりました．また，その原理にシフト演算が欠かせないことも分かりました．それでは，お楽しみにください．

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セカンダリーの貴金属比が奏でる数理情報デザイン2

セカンダリーの貴金属比を類似比と読み替えてお楽しみください．等角螺旋の特徴を直角三角形を用いて考察した結果、放物線、直線、点、円、カージオイドなど図として意味がある特徴が描けました。また、ケプラー三角形を2枚用いた直方体をケプラー直方体と呼ぶことにすると、これを応用して空間幾何学上に貴金属比の類似比の活躍が期待できることがわかりました。

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標準正規分布の幾何学的対称性

連続な確率変数の確率密度関数の積分形は、0から1までで評価できる累積分布関数です。では、累積分布関数を積分するとき、積分形の関数の一階の導関数は、累積確率として0から1までの傾きになります。つまり、直角三角形を用いた三平方の定理による評価が可能になります。そこで、標準正規分布の幾何学的対称性を応用しながら三平方の定理を用いてみると、新たな確率評価基準が思考できます。

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修正パスカルの三角形を活用した二刀流のワン・スキップ型数列の可視化

パドヴァン数列は，初項から３つ１，１，１を並べて始まります．その後の数列の値は，二つ前と三つ前の数列の値の和です．ですので，いわゆるワン・スキップ型の数列です．ペラン数列等もこの数列の特徴を継承した数列です．今回はこのワンスキップ型の数列の二刀流の可視化を公開します．パドヴァン数列は，オリジナルのパスカルの三角形の値を将棋の桂馬や，チェスのナイトのような桂馬型の和から得られることが周知です．小生も修正パスカルの三角形を用いてペラン数列の可視化に成功し，パドヴァン数列などワン・スキップ型の数列の初項の変化に耐え得る可視化も実現してきました．今回は前作のパドヴァン数列の正六角形の数理的特徴がヒントとなり，パドヴァン数列を修正パスカル三角形上の４UP型の和として表せることも紹介します．以上，数列の二刀流の可視化を楽しんでください．

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ニュートンの二項定理を活用した修正パスカルの三角形の考案

ニュートンの二項定理では、負のべき乗を級数として表現できます。これがパスカルの三角形に活用できることは意外と知られていません。本研究ではフィボナッチ数列とリュカ数列の表現に、この発想が欠かせないことを可視化するとともに、この両数列に関連する数列を修正パスカル三角形が見事に表現してくれることを紹介します。下記に示す修正された三角形をご覧いただきこの考え方のアルゴリズムって美しいなって感動してもらえたら光栄です。

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直角三角形が活躍する正弦波螺旋と等角螺旋の関係や、パスカルの蝸牛形の考察

英語版のWikipediaによると、マクローリンが見つけた正弦波螺旋は螺旋と名付けられているが、螺旋とは関連がないものとして知られていたようです。しかし、等角螺旋の性質を調べると等角螺旋に関連する直角三角形を用いることにより説明できることがわかりました。同様にその関連する直角三角形がある時点で反転させるときにもパスカルの蝸牛形の幾何学的特徴が説明できました。本研究で紹介する画像を見ながらその様子を楽しんでください。

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セカンダリーの貴金属比が奏でる数理情報デザイン

セカンダリーの貴金属比を類似比と読み替えてお楽しみください．黄金比とピタゴラスの定理を魅了させるケプラー三角形に、一般化されたフィボナッチ数列を応用した新たな貴金属比の類似比の魅力を提案しました。発表後に定義式には第2類似比がカッパー比、第3類似比がニッケル比と1990年代後半に命名されていたことがわかったのですが、命名者も際立った数学的・芸術的魅力は言及しませんでした。一方で、従来の貴金属比の第4貴金属比にもカッパー比、第5貴金属比にもニッケル比が記載されることがあり、名称の由来や情報とその信憑性に確信を持てませんでした。したがって、発表時のコンセプトの通りに従来の第2貴金属比である白銀比、第3貴金属比である青銅比を基準に対比しながら今回の発表を公開して、ご閲覧いただく皆様のご意見を聴くことにしました。科学・技術ならびに芸術の世界に役立つ発展に繋がれば嬉しいです。ところで、白銀比に必要な直角二等辺三角形と、ペル数列の代わりにヤコブスタール数列を活用した貴金属比の類似比には、従来の貴金属比とは導出こそ異なるけれども、とても美しい数理と芸術の可能性が隠されていました。貴金属比の類似比の幾何学的特徴を調べながら、有名な数学者の功績を加えて調和させていくと、その美に魅せられます。下記は、提案から1年間の成果のギャラリーです。ご堪能ください。