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ホームセカンダリーの貴金属比が奏でる数理情報デザイン
SDGsの分類
研究テーマ
デザイン自然科学
学科の分類
情報センター

セカンダリーの貴金属比が奏でる数理情報デザイン 等角螺旋を目指したケプラー三角形とピタゴラスの定理と一般化されたフィボナッチ数列の協奏

情報センター

中西真悟 准教授

フィボナッチ数列ピタゴラスの定理黄金比

セカンダリーの貴金属比を類似比と読み替えてお楽しみください.黄金比とピタゴラスの定理を魅了させるケプラー三角形に、一般化されたフィボナッチ数列を応用した新たな貴金属比の類似比の魅力を提案しました。発表後に定義式には第2類似比がカッパー比、第3類似比がニッケル比と1990年代後半に命名されていたことがわかったのですが、命名者も際立った数学的・芸術的魅力は言及しませんでした。一方で、従来の貴金属比の第4貴金属比にもカッパー比、第5貴金属比にもニッケル比が記載されることがあり、名称の由来や情報とその信憑性に確信を持てませんでした。したがって、発表時のコンセプトの通りに従来の第2貴金属比である白銀比、第3貴金属比である青銅比を基準に対比しながら今回の発表を公開して、ご閲覧いただく皆様のご意見を聴くことにしました。科学・技術ならびに芸術の世界に役立つ発展に繋がれば嬉しいです。ところで、白銀比に必要な直角二等辺三角形と、ペル数列の代わりにヤコブスタール数列を活用した貴金属比の類似比には、従来の貴金属比とは導出こそ異なるけれども、とても美しい数理と芸術の可能性が隠されていました。貴金属比の類似比の幾何学的特徴を調べながら、有名な数学者の功績を加えて調和させていくと、その美に魅せられます。下記は、提案から1年間の成果のギャラリーです。ご堪能ください。

貴金属比と貴金属比の類似比の呼称の説を右の図に掲載します。二通りございます。de Spinadelが類似比を1990年代後半に見つけたようです。既にこのときに黄金比と白銀比はデザインの世界で、市民権を得ていたので、第3貴金属比に青銅比、第2類似比にカッパー比、第3類似比にニッケル比と命名したようです。これより古い文献に、英語版でも日本語版でも青銅比や白金比は今のところ見つかっていません。一方で、第4貴金属比にカッパー比、第5貴金属比にニッケル比を定義する文献も見つかります。どちらが本当かに関心はあるのですがわかりません。そこで、下記の作品を制作するときに、第2類似比は白銀比に、第3類似比は青銅比の特徴をいかに保つ類似比となるかに焦点を当てて今回は製作しました。したがって、動画サイトのビデオでは、発表当時のまま、白銀比と青銅比の名称を活用して公開しています。

まずは、貴金属比と貴金属比の類似比の魅力ですが、多重根号と連分数による表記が可能なことです。a=n, b=1の場合が従来の貴金属比に相当し、a=1, b=nの場合が貴金属比の類似比に相当します。

このとき、1を引いて実現する黄金比の逆数に相当する多重根号と連分数は収束しないので使えないのではと尋ねられるかもしれません。無限に実証することはもちろん無理かもしれませんが、Excelを使用して初項にとても小さな数εを加えると再帰する値が黄金比の逆数に収束していきます。したがって、1+εを大体1であるとみなせば実用に耐えられます。

ところで、黄金比とピタゴラスの定理を考えるとき、日本では馴染みのないケプラー三角形が主役となります。これに加えて、ピタゴラスの定理とフィボナッチ数列が大活躍します。ちなみに本研究の提案までは、ケプラー三角形の日本語版Wikipediaは存在しませんでした。ケプラー三角形に興味を持たれた方は、本研究の動画を動画サイトでお楽しみください。

この研究は、標準正規分布の累積分布関数を傾きとして用いたときにヒントを得ました。特に、左の図ではケプラー三角形の底辺を原点からの確率点までの距離として正規化するときに、三角形の高さが傾きと一致するため、ピタゴラスの定理が活かされます。そして、二次元標準正規分布の同時確率を黄金比の逆数として定義するときに、その魅力は発揮されます。

はじめは、右の図のようにアルキメデスの代数螺旋の特徴について調べていました。下の図2枚は、その後に得られた新たな貴金属比の類似比の概念図です。
芸術的にも面白い図が描けたので、記念して

  • 黄金比には「日いづる国」
  • 白銀比に対応した第2類似比には「水の都大阪」
  • 青銅比に対応した第3類似比には「生駒の山の空高し」

と命名しました。陽の光、水、野山の大切さを感じていただけると嬉しいです。

上記でも説明しましたが、左上の図の貴金属比の類似比には連分数と無限多重根号による表記により、貴金属比の類似比の序数との美しい関係が見つかりました。また、この解は2次方程式を解くことでも得られるし、特性方程式を用いて固有値として求めることもできます。そして、その固有値から幾何平均の考え方により個性ある直角三角形を表現することができました。下の図2枚はそのことを図示しています。その結果、この関係図から序数nは、貴金属比の類似比と(類似比ー1)の積で示せることがわかりました。右上の図には、類似比の幾何学的意味を単純に表した概念図です。このときに再帰する考え方が役立ちます。

貴金属比の類似比の定義は上記の概念図で行ったので、右の図では、その数値の逆数に合わせて二次元標準正規分布の同時確率を視覚化しています。n=12では、確率点が図の中心である原点になることが、後ほど重要となります。すなわち、確率である2分の1を二乗して4分の1を図示しています。これにより、貴金属比の類似比が4のため、n=4×(4-1)=12となります。

次に、ケプラーの別の功績でもある楕円を活用して、右上の図の関係を右の図のように楕円を用いて視覚化してみます。n=1では、ケプラー三角形を活用し、同様にn=2では、直角二等辺三角形を活用し、n=12では、正三角形を活用します。すなわち、二つの正規化された楕円の焦点と一番上の楕円の軌道の点を用いて直角三角形を描くことができます。この関係はピタゴラスの定理の活用が重要な意味を持つことを暗示しています。

それでは、真の黄金比や白銀比の等角螺旋(対数螺旋)と呼ばれる螺旋構造を解明します。まず、黄金比はケプラー三角形とピタゴラスの定理とフィボナッチ数列とを用いて左下の図のように描けます。ルート2を意味する白銀比はその派生型である従来のペル数列の代わりにヤコブスタール数列を用いるときに、ピタゴラスの定理と直角二等辺三角形を用いて同様に描くことができます。これまでの黄金比の螺旋の提案とは異なり、この発想は独自のものです。

ところで、n=12のときには、本来は確率点が0のために、標準正規分布の頂上に1点だけが表示され、螺旋構造は描けません。もし、描けるとしたら、どのように描くことができるのだろうかとイメージしてください。その答えが左下の図です。すなわち、n=6が本来のルート3を意味する白金比の序数に相当する類似比なのですが、実際に白金比に対応した等角螺旋を描くときには、n=12の類似比のほうが幾何学的には都合が良いことがわかりました。また、いくつかの連なりの幾何学的特徴も左下に図示しました。

連なりの部品も併せて、これらの特徴を兼ね備えた黄金比と白銀比(第2類似比)のフラクタルを目指したデザインに関する等角螺旋図は左の図のように描くことができました。従来の黄金比や白銀比に対応する等角螺旋のイメージとはかなり異なる図が描けていることがわかります。

一方で、フィボナッチ数列と相性の良い数学の道具としてパスカルの三角形も考えることができます。そこで、左下の上図には、従来からの関係図として有名な図を示し、それと同様に、白銀比をヤコブスタール数列を用いて表せるとしたらどのように描けるかを左下の下図に示します。また、右下の図のように、重みづけをした桁ずらし算を応用して考えた場合には、二項定理との関連も数理的に見通しが良くなることがわかりました。

このことを応用するならば、一般化されたフィボナッチ数列についても二項定理を活用して図示することができます。したがって、一般化されたフィボナッチ数列と連分数の関係も図示でき、その解明に大変役立ちました。左下の図はヤコブスタール多項式との関係を視覚化しています。

同様に、負の一般化フィボナッチ数列も左下の図のように図示できます。この特徴を右下の図のように青銅比(第3類似比)の場合に適用して確認してみました。

続いて、ガウス平面上(複素数平面上)で等角螺旋の特徴を調べるために、同じ考え方で左下の図のように二項定理を活用します。その結果をもとに、この特徴を黄金比に対応するケプラー三角形と白銀比(第2類似比)に対応する直角二等辺三角形を同時に重ねた等角螺旋として右下の図のように比較しています。この螺旋の特徴は、等角螺旋の連続版についてもド・モアブルの定理を活用しながら考察できます。また、二項定理の実部と虚部の関係は正接の加法定理と同じ効果を得ることができます。このことはかなり昔から等角を描く方法として知られていたようです。

以上の特徴をn=12のときにまとめて図示したものが右の図です。別頁に掲載している動画ではこの図を活用して五輪の開会式のイメージの予想しながら開催の十数日前に発表しました。

その動画のコマを分割して、黄金比(第1類似比)、白銀比(第2類似比)、青銅比(第3類似比)と変化していく様子をまとめて表したものが右の図です。すなわち、四つの特徴である①標準正規分布上での直角三角形、②貴金属比の類似比に関するピタゴラスの定理、③等角螺旋のガウス平面上での視覚化、④同じ焦点を持つ貴金属比の類似比に関連した楕円が変化していく様子をそれぞれ視覚化しています。

ここまでの数理的特徴を追求するときに、ケプラー三角形の存在はとても大きく、黄金比(ケプラー三角形)と白銀比(直角二等辺三角形)の関係について多角的に調べる機会を得ることができました。左の図はそのときの黄金比と白銀比の組み合わせの図の成果です。

その他のおまけとして、代数螺旋軌道の構造に次の三つの図が示す関係も見つかりました。

すなわち、ある螺旋上の点を起点として代数螺旋軌道の前後では距離が同じとなる点での二つの正方形の面積の和が、起点に位置するその中間の正方形を二つ加算した和に等しいことが導出できました。現在は貴金属比のとの関連を精査中です。

また、おまけ②として固有値の関係を調べていた時には、今回提案した貴金属比の類似比とその序数には、類似比が整数である場合に限定しなければ、ピタゴラスの定理を用いて説明ができる特徴があることを示せました。

最後に、今回の研究成果の特徴をもとに黄金比(第1類似比)と白銀比(第2類似比)をもう一度ペアにして描きます。いかがでしたか。ご興味いただけた場合、あるいはもっと知りたい場合は、別頁に掲載している動画をご視聴ください。ここまでご覧いただきありがとうございました。

論文

「ピタゴラスの定理と標準正規分布に基づく螺旋および等角図の幾何学的考察 ― 三角形と正方形や貴金属比の類似比によるアプローチ ―」(2021)中西真悟『大阪工業大学紀要』65(2)p.103-127.

「標準正規分布の累積分布関数を傾きとする黄金比や貴金属比の類似比 (その1) ケプラー三角形,ピタゴラスの定理,平方および代数螺旋の再考」(2021)中西真悟『日本オペレーションズ・リサーチ学会春季研究発表会アブストラクト集 』2-E-10p.1-2.

「標準正規分布の累積分布関数を傾きとする黄金比や貴金属比の類似比 (その2) フィボナッチ数列の拡張とフラクタルを目指した等角螺旋デザイン」(2021)中西真悟『日本オペレーションズ・リサーチ学会春季研究発表会アブストラクト集 』2-E-11p.1-2.

研究者INFO: 情報センター 中西真悟 准教授

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半凝固状態を利用してアルミニウム合金の通孔ポーラス材を簡単・安価に作製することができます.半凝固状態で中子棒を引き抜くだけで,通孔ポーラス材を作製できます.孔形状は例えば“L”字型も可能です.通孔の最小径の実績は0.5mmです.平行な通孔だけではなく,異なる方向の通孔も開けることができます.従来のポーラス材より長い通孔を開けることができます.直径5mmの通孔では長さ500mmの実績があります.

木村 哲士

超弦理論から見た時間・空間・物質の双対性

アインシュタインの相対性理論により、時間・空間・物質は互いに影響を及ぼしているとされました。この視点は現在の観測結果と矛盾していません。しかしながら、我々はこの世界が何故「時間は1つ」「空間は3方向」「物質はクォークとレプトン」「質量の起源はヒッグス粒子」「力は4種」で構成されているのかをいまだ説明できていません。

中西 真悟

貴金属比とその関連数列によるシングル,ダブル,トリプル型の正三角形螺旋と正六角形螺旋

黄金比,白銀比,青銅比など貴金属比と関連するサブタイトルの数列を活用して,図余りと図足らずを許した場合の正三角形による螺旋図を考察しました.その結果,シングル,ダブル,トリプル型の正三角形螺旋図の特徴が分かりました.また,副産物として正三角形の特徴を有する正六角形の螺旋図も考案しました.どうぞお楽しみください!

+2
重弘 裕二

超大規模組合せ最適化問題に対する新解法の提案

設計、割り当て、スケジューリング等、様々な問題は組合せ最適化問題として定式化できる。しかし、実応用において厳密に最適な解を求めるのが不可能な場合も多い。そのような状況においても可能な限り良質な解を探索するために、これまでにも遺伝的アルゴリズムのような手法が提案されているが、万能ではない。本研究では、特に超大規模な組合せ最適化問題を対象とし、確率論、統計論的な観点から、最適と考えられる方法を追究している。

橋本 渉

容易に構築できる球面ディスプレイ環境

球面型没入ディスプレイ環境構築をサポートするシミュレータを開発した.球面ディスプレイを作る際には,ドームスクリーンへの特殊な歪み補正を考慮した投影系の光学設計を行う必要がある.しかし,実際に製作される光学系はシミュレーション通りの精度が保証されるわけではない.使用する際に改めて光学系の微調整が必要となる.本研究では,投影系の光学設計と同時に,光学系の微調整や歪み補正が実行可能な投影シミュレータを開発している.

杉川 智

リアクティブスケジューリングのための数理モデル

システム開発や建設業などのプロジェクトにおいて,スケジュール作成時点では,わからない不確定な事象によってスケジュールの変更を余儀なくされることがある.さらに,昨今の社会では即応性が求められるため,十分に吟味されないままスケジュールを作成し後で変更することもあります.本研究は,それらのスケジュール立案後の変更を考慮したスケジューリングモデルのための基本的な考え方,分類,数理モデルを提案します.本モデルによりスケジュールの変更をふまえた新しいスケジュールを作成すること,新しい解法を提案することが可能になります.

+1
濵田 悦生

新型コロナウイルスに関するオープンデータを利用した効果的な教育法

厚生労働省が提供する新型コロナウイルス感染症に関するデータはオープンデータである。2020年から2022年までの新型コロナウイルスの実データとしては大変貴重なものになっている。このデータは全国で収集された、PCR検査数、PCR陽性者数、重症者数、死亡者数などを含むが、単回帰モデルやシンプルな時系列モデルを適用することによって、学部3年生向けのPBL教材で使うことの出来そうな実例分析を作成することが見込まれる。学生にとっても非常に身近で切実なデータであり、その教育的効果は高いであろう。

+3
上辻 靖智

機能材料のマルチスケール最適設計

 材料に優れた特性を発現させる鍵は,微視構造にある.次世代新規デバイス開発の核となるマルチフェロイック材料の電気磁気効果を飛躍的に向上することを目的とし,顕微鏡で観察される微視(ミクロ)スケールと機械構造物を捉えた巨視(マクロ)スケールを連成したマルチスケール構造最適設計を駆使して,数値解析主導の材料設計開発を提供する.

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