英語版のWikipediaによると、マクローリンが見つけた正弦波螺旋は螺旋と名付けられているが、螺旋とは関連がないものとして知られていたようです。しかし、等角螺旋の性質を調べると等角螺旋に関連する直角三角形を用いることにより説明できることがわかりました。同様にその関連する直角三角形がある時点で反転させるときにもパスカルの蝸牛形の幾何学的特徴が説明できました。本研究で紹介する画像を見ながらその様子を楽しんでください。
まず、左図をご覧ください。等角螺旋でカージオイドから放物線までの軌跡を描いています。この関係は、放物線（x=2）、直線(x=1)、点（x=0）、円（x=-1）、カージオイド（x=-2）となる等角螺旋のべき乗xが正弦波螺旋の性質-1/xと一致することを示しています。その重要な位置づけが確認できました。それでは、具体的な例図を下記に示して紹介していきます。
左図は、等角螺旋のべき乗の絶対値が1よりも大きい場合の例図です。x=1で直線、x=2で放物線になることは上記でも紹介しましたが、x=3でチリンハウゼンの3次曲線を示し、x=3以上の特性も示してみました。逆に、x=-2でカージオイド、x=-3でケイリーの6次曲線を示しています。
では、ここで、x=1/2からx=-1/2の場合を考えていきます。この差が1ですので、ここにも直角三角形が形成されて等角螺旋の軌跡を描くはずです。このときにx=1/2が双曲線を、x=-1/2のときにレムニスケートを描き、正弦波螺旋の特性と一致します。これまで、双曲線とレムニスケートの関係は有名でしたが、ここに等角螺旋が描けることは知られていないようです。等角螺旋とレムニスケートへの貢献では、ヤコブ・ベルヌーイが有名です。両者が結びつくことを天国でヤコブ・ベルヌーイは驚いていたことだと想像します。
続けて、等角螺旋のべき乗の絶対値が1より小さい場合を示していきます。このように、x=1/2で双曲線、、x=1/3でフンベルト曲線を示しています。逆にx=-1/2でレムニスケート、x=-1/3でキーペルト曲線をしていることが分かります。
一番上の図の紅色の等角螺旋の性質について、べき乗の絶対値が1より一さい場合について調べたものがこちらです。上の図と比較してみてください。よく見ると、上の図との違いを楽しむことができます。すなわち、sinとcosの違いが対比されて視覚化できています。
以上の等角螺旋と正弦波螺旋の関係についての紹介の他に、放物線と双曲線と楕円を等角螺旋に関連付けて描くことにも成功しました。図をよく見ると、ピンク色の楕円が花嫁で、水色の楕円が花婿に見立てた結婚式の祝福の姿に見えませんか。思わず、聖書の聖句「二人は一体となる。」を題目に決めました。
ところで、左図をご覧ください。ここまでに登場したケイリーの6次曲線になる順番の手前で直角三角形を反転させるとパスカルの蝸牛形、すなわち、リマソンが現れます。よく観察してみてください。直角三角形の不思議な特性に驚くばかりです。
では、同様に紅色の等角螺旋にもパスカルの蝸牛形を示せる特性が見つかります。そして、パスカルの蝸牛形に属するカージオイドが調和していることが分かります。ちなみに、この蝸牛形を調べたパスカルは研究者が別のシーズで紹介するパスカルの三角形を考案したブレーズ・パスカルの父であるエチエンヌ・パスカルです。
この特性を調べていると、貴金属比の類似比とカージオイドの中の直角三角形が一致した視覚化に成功しました。特に、このときのケプラー三角形とカージオイドは黄金比を視覚化できています。
ここで、貴金属比の類似比のこれまでの作品のまとめとして、上の図のカージオイドを含めた図を描きなおします。
以上、パスカルの蝸牛形、カージオイドの紹介を終えます。詳しくは、小生の研究HPと動画をご確認ください。最後に、やはり聖書の聖句、「互いに愛し合いなさい」を引用し、カージオイドをハートに見立てて、愛あるハートを重ね合わせた結びとしたいと思います。愛、喜び、平安を祈りたいと思います。
追記：北九州市の小倉駅直ぐ近くに北九州国際会議場がございます．2024年8月にそこで図学国際会議（ICGG 2024）が開催されました．ポスターセッションに参加して，下記の図を公表しました．上記の円錐曲線で表記される放物線，双曲線，楕円を用いた図の直角三角形の軌跡を一つずらす効果を狙っています．ご理解いただけると光栄です．
また，昨年度に作成したGIFアニメーションも追加します．イメージを掴めると嬉しいです．有難うございました．
論文
「貴金属比の類似比による直角三角形と等角螺旋を活用したリマソン (パスカルの蝸牛形) の作画や正弦波螺旋の幾何学的特性の再考」(2023)『日本オペレーションズ・リサーチ学会2023年春季研究発表会アブストラクト集』2-F-8p.1-2.
「貴金属比の類似比に関する等角螺旋の幾何学的可視化」(2022)『日本図学会2022年大会学術講演論文集』p.93-98.
「Visualizations of Sinusoidal Spirals, Limacons of Pascal, and Conic Curves using Equiangular Spirals of Secondary Metallic Ratios」(2024)『Proceedings of the 21st International Conference on Geometry and Graphics』3, 218p.1-5.
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