黄金比，白銀比，青銅比など貴金属比と関連するサブタイトルの数列を活用して，図余りと図足らずを許した場合の正三角形による螺旋図を考察しました．その結果，シングル，ダブル，トリプル型の正三角形螺旋図の特徴が分かりました．また，副産物として正三角形の特徴を有する正六角形の螺旋図も考案しました．どうぞお楽しみください！
パドヴァン数列を用いたシングル型正三角形螺旋図は周知です．一方で，フィボナッチ数列を用いたダブル型正三角形螺旋図は日本では知られていないようです．また，トリプル型正三角形螺旋図は多くのブログでも取り上げられているようです．そこで，貴金属比のような比とその関連数列により，これらをまとめながら，数列の初項や二項などの設定値の変更で図余りや図足らずを認めながら作画が可能かを挑戦しました．
まずは，シングル正三角形螺旋図はパドヴァン数列もしくはプラスチック比により可能です．そこで，分数8/25を活用すると0,.32のため，プラスチック比を近似するのに好都合の為，こちらを思い切って活用して図余りや図足らずの様子を調べることにしました．下記の図がその様子です．
このように図足らずが認められるもののしっかりとシングル型正三角形が描けています．そこで，8/25を8月25日に見立てて，1月から12月までの比率を用いたシングル型正三角形の様子も下記の図のとおり調べてみました．こちらも問題なく描けていました．
続いて，フィボナッチ数列のダブル螺旋図を紹介します．既に西洋では知られているようでした．ですので，リュカ数列やムラツ数列も一緒に考察したオリジナル版を下記の図として公表しています．
このように，ダブル螺旋型でも図余りや図足らずを許すとリュカ数列やムラツ数列を用いたダブル螺旋図が描けました．そこで，黄金比，白銀比，青銅比に代表されるプライマリーの貴金属比によるダブル型正三角形螺旋図も作画に挑戦したところ見事に下記の図のように可視化できました．新たな貴金属比の定義図の完成です．記念して，フィボナッチ数列，リュカ数列，ペル数列，ペル・リュカ数列による螺旋図も加えて作画を公表しています．
続いて，トリプル型の螺旋図を考察します．2のべき乗がトリプル型正三角形螺旋を構成するので，ヤコブスタール数列をフィボナッチ数列のように一つずらして，作画を行います．
このように，初項や二項などの設定値を変更して様々な数列による図余りや図足らずのシングル，ダブル，トリプル型正三角形螺旋図を描けることが分かりました．その一例が下記の図です．いかがでしょうか．
ところで，次のような副産物がございました．すなわち，下記のように正六角形螺旋図です．この図はフィボナッチ数列とリュカ数列の活用例でダブル型正六角形螺旋図です．芸術的観点からも興味深い図が描けました．まるで仲の良いカップルかご夫婦のようですね．そこで，聖書の「二人は一体となる」もしくは隣人を愛すように，「互い愛し合いなさい」をサブタイトルに加えてみました．
正六角形螺旋図も面白いことに，パドヴァン数列，フィボナッチ数列，ペル数列により，数学的には厳密ではございませんが，シングル，ダブル，トリプル型正六角形螺旋図を作画できました．では，正三角形と同様に関連するプラスチック比，フィボナッチ数列，２では正六角形螺旋図ではどのように描けるのでしょうか．
いかがでしょうか．
このように見事に正三角形螺旋図と同様に正六角形螺旋図の作画に成功しました．ご支援いただいた皆様に感謝いたします．また，この研究はこれまでのシーズ集に紹介するようにケプラー三角形と黄金比とフィボナッチ数列，直角二等辺三角形と２とヤコブスタール数列による1番と2番という関係を調べてきました．その関係が数式により，ダブルとトリプルの関係に進展して成就しました．ありがとうございました．
以上が，2024年9月までの成果でした．そこに，正六角形の幾何学的特徴が更なる魅力を発揮します．まずは，正六角形の倍率が１から２までの正三角形を基準とする正六角形螺旋図のアニメーションをご覧ください．このときにパスカルの三角形の斜めの和が新たな数列を生成します．そして，この比がこれまで説明してきたように拡大する比率にとても重要な性質を示していることが分かりました．
ところで，下記の図は，ダブル正三角形螺旋の性質として，貴金属比の数式を参考にした数列の初項を０，１から１，１に変更した結果です．こちらも見事に可視化できました．初項から1が並ぶ性質も何かあるのかもしれません．
以上から，正三角形と正六角形とパスカルの三角形の性質を可視化した図を下記のように示します．こんなきれいな景色をみることができるとは予測していませんでした．研究者として幸せな瞬間をいただきました．次の世代の方が同じように感動して，新たな実りあることに挑戦しながら達成し，世の中が明るくなり，皆が喜ぶ瞬間が次々と訪れますように！ありがとうございました．
おまけとして，正三角形とワンスキップ型の性質を活用するデザインの新たな発想ができるようです．小生はプロの芸術家やデザイナーではないので，本職の方にかないませんが，皆さんがたのしくイラストやデザインに活用しながら楽しまれることを望んでいます．こちらも有難うございました．
以上の研究成果と他にも記した研究シーズは，下記のように標準正規分布の幾何学的性質を探していた時に，黄金比とピタゴラスの定理ががケプラー三角形を構成していることを知り，それがフィボナッチ数列により等角螺旋を構成していることを可視化できたことが始まりでした．ここまでに沢山の美しい風景を眺めることができました．支えてくれた方々，助言を与えてくれた方々，励ましをいただいた方々に心から感謝いたします．感謝を込めて，数列によるシングル，ダブル，トリプル型の正三角形螺旋を活用しながら，「人」が浮かんで見えるよう図を作成しました．喜んでいただけると幸いです．
あれ，一番下のトリプル型の正三角形の中心が空洞だよ！！！！そうですね．次につながるよう，数学的にはともかく，おまけの１がわかるように下記にパスカルの三角形の「へそ」を記してみました．また，皆さんと共にあらたな感動に挑戦ができますように！！！感謝．
論文
「図余りと図足らずを許した正三角形を連ねた螺旋図 -パドヴァン数列とペラン数列に習って-」(2024)『日本図学会2023年度関西支部学術講演会講演資料』p.1-6.
「図余りと図足らずを許した正三角形を連ねた螺旋図（Gibonacci数列と関連数列）」(2024)『2024年日本フィボナッチ協会研究集会講演資料』p.1-23.
「Modified calculations and visualizations for skipped, weighted, or right-upward typed Gibonacci sequences using related Pascal triangles and these matrices」(2025)『京都大学数理解析研究所講究録』2304p.114-126.
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